'-고 싶다'는 '저, 우리, 나'와 같은 말하는 사람의 희망이나 바람을 나타냅니다.

'-고 싶다' 앞에 쓰인 조사 '이/가'와 '을/를'이 교체되는 것은 '-고 싶다' 구문의 특성으로 인정됩니다. '(나는) 떡볶이가 먹고 싶다'에서 쓰인 조사 '가'는 격조사가 아니라 강조의 뜻을 지닌 보조사입니다. 조사 '가'는 연결어미 '-지'나 '-고 싶다'의 구성에서 주로 보조사로 쓰입니다.
'떡볶이를 먹고 싶다'보다 '떡볶이가 먹고 싶다'라는 표현이 목적어 '떡볶이'를 더 강조해 줍니다.

한편 '한국어가 잘하고 싶다.'는 어색한 표현입니다. 뒤에 오는 동사 '잘하다'는 목적어 '을/를'을 취하는 동사이므로 '~을 잘하다', '~을 잘하고 싶다'로 표현하는 것이 일반적인 표현법으로, 의미의 특성상 '나는 ~가 잘한다/ ~가 잘하고 싶다'로 표현하면 어색합니다. 동사 '가르치다'도 '잘하다'와 같이 제약이 있는 단어로 볼 수 있습니다.

그리고 '한국어를 하고 싶다'나 '한국어가 하고 싶다'는 '잘하다'와는 달리 조사끼리의 교체가 가능한 표현이라서 쓸 수 있는 표현입니다.

더 자세한 내용은 문법 관련 서적을 참고하시기 바랍니다.